Лекция Производная функции 2

Лекция 9 . Производная функции 2.

П.1 Производная оборотной функции.

Аксиома 1.(производная оборотной функции)

Пусть непрерывная, строго однообразная (растущая либо убывающая) функция на отрезке [a;b] и имеющая в точке производную . Тогда оборотная функция имеет производную Лекция Производная функции 2 в точке и

.

ДОК.

=.

П.2 Производная сложной функции.

Аксиома 2. (производная сложной функции)

Пусть функция , определенная и непрерывная в округи , имеет производную в точке . Функция определена и непрерывна в округи , где , и имеет производную в точке Лекция Производная функции 2 . Тогда непростая функция имеет производную в точке и

.

ДОК.

,

где и - б.м.ф. Тогда



и , где б.м.ф. в точке .

Тогда .

П.3 Таблица производных простых функций.

(1) (2) . (3)

(4) (5) .

6) (7)

(8) (9)

(10) (11) (12)

(13)

ДОК.

(10)

(11) .

(12) (13)

(1)

(2) =.

(3) .

(4) .

(6) .

(7)

(8)

(9) (5) – без помощи других.

П.4 Дифференциал Лекция Производная функции 2 функции.

ОПР. Функция именуется дифференцируемой в точке , если ее приращение можно представить в виде:

, где - б.м.ф. в точке .

ОПР. Основная линейная часть приращения , величина , именуется дифференциалом функции в Лекция Производная функции 2 точке .

Аксиома 3.

Существование производной функции в точке является нужным и достаточным условием ее дифференцируемости.

ДОК. (1) Пусть функция дифференцируема. Тогда и .

(2) Если функция имеет производную , тогда по аксиоме о связи , где - б.м.ф., т Лекция Производная функции 2.е. , при.

СЛЕДСТВИЕ. Дифференциал функции имеет вид .

Функция имеет производную, равную 1, потому . Тогда

.


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ смысл дифференциала.

Уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке , имеет вид:

.

Приращение ординаты касательной, соответственной изменению аргумента на Лекция Производная функции 2 равно , т.е. значению дифференциала .

ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМЫ дифференциала.

Если - функция независящей переменной y , то ее дифференциал имеет форму . Если - непростая функция и , то

,

т.е. форма записи дифференциала не находится Лекция Производная функции 2 в зависимости от того, является ли y независящей переменной либо функцией другой переменной. Это свойство дифференциала именуется его инвариантностью.

П.5 Арифметические операции с дифференциалами.

(1)

(2) .

(3)

П .6 Производная и дифференциал функций, данных параметрически.

Функцию можно задавать при Лекция Производная функции 2 помощи 2-ух отображений и композицией . Такую функцию записывают в форме , . Существование может обеспечить, к примеру, строгая монотонность функции .

ПРИМЕР 1. Функция на отрезке [-1; 1] может быть задана параметрически: , . Тогда

.

Аксиома 4.(о дифференцируемости функции данной Лекция Производная функции 2 параметрически)

Пусть функция задана параметрически , , при этом - дифференцируемые на отрезке функции и .Тогда в каждой точке x , соответственной значению t , т.е. , существует производная , равная и дифференциал

.

ДОК. (1) .

(2) .

УПРАЖНЕНИЯ. 1) Постройте для функции , определенной Лекция Производная функции 2 на , оборотную функцию и найдите ее производную.

2) Неявную функцию, заданную уравнением , записать в параметрической форме и отыскать ее производную в точке .

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.

1) Аксиома о производной оборотной функции.

2) Аксиома о производной Лекция Производная функции 2 сложной функции.

3) Таблица производных простых функций.

(с подтверждением)

4) Дифференцируемость функции, аксиома о нужном и достаточном условии дифференцируемости.

5) Дифференциал функции, связь дифференциала с производной, геометрический смысл дифференциала, инвариантность формы дифференциала Лекция Производная функции 2.

6) Производная и дифференциал функции, данной параметрически.

lekciya-po-teme-rinok-cennih-bumag-rinok-cennih-bumag.html
lekciya-po-teme-upravlenie-konfliktami-i-stressami-v-organizacii.html
lekciya-podgotovka-k-sochineniyu-otbor-materiala.html